secx积分推导三种方法

secx积分推导三种方法

secx积分推导三种方法

方法1：原式=∫dx/cosx=∫cosxdx/(cosx)^2

=∫d(sinx)/[1-(sinx)^2]

令t=sinx

=∫dt/(1-t^2)

=(1/2)∫dt/(1+t)+(1/2)∫dt/(1-t)

=(1/2)∫d(1+t)/(1+t)-(1/2)∫d(1-t)/(1-t)

=(1/2)ln|(1+t)/(1-t)|+C

=(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C

=ln(secx+tanx|+C=右边

方法2：∫secxdx

=ln|secx+tanx|+C

方法3:将t=sinx

原式secx=[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]/2+C。

则secx=1/cosx∫secxdx=∫1/cosxdx=∫1/(cosx的平方)dsinx=∫1/(1-sinx的平方)dsinx

令sinx=t，代入上式

原式=∫1/(1-t^2)dt=1/2∫[1/(1-t)+1/(1+t)]dt=1/2∫1/(1-t)dt+1/2∫1/(1+t)dt=-1/2ln(1-t)+1/2ln(1+t)+C

将t=sinx代人可得原式=[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]/2+C