一阶常系数非齐次线性微分方程求解

一阶常系数非齐次线性微分方程求解

介绍使用Mathematica求解一阶常系数非齐次线性微分方程的步骤。

要求的方程形式就是封面中的方程。

首先，可以直接使用DSolve开查看一阶常系数非齐次线性微分方程通解的形式。有一个未知常量C1，此外还含有一个积分。

下面详细给出推演步骤（可手算）。

首先，我们令【非齐次方程】这个符号存储我们的偏微分方程。

接下来，首先去掉等号右边非齐次项，计算这个齐次方程的解

我们保存为符号【齐次解】。

接着，我们要算满足非齐次项的特解。

我们把解中的常数C替换为关于微分变量t的函数C[t]。

把替换后的式子存储为符号【常数变易】。

稍后，我们需要算出C[t]。

然后，我们把替换后的这个【常数变易】（半成品的解）带回非齐次方程。

这样，我们就得到了一个关于C[t]的方程，把这个方程存储到符号【求c的方程】。

然后，我们求解这个求C[t]的方程。可以使用DSolve求解也可以容易的分离变量观察得出。把解出的C[t]命名为【C1t的替换】。

然后，我们把这个【C1t的替换】替换到【齐次解】，就得到了一个满足原来非齐次方程的【特解】。

【最终解】就等于【特解】+【通解】。使用如图代码合并两个解。这个解中只有一个未定常数C（只不过由于解相加相加写成了C+C）

把【最终解】带入原方程，可见满足原方程。

这里再给出了几个非齐次项已知的特殊情况，比如令f[t]=t或者e^t或者Sin[t]。