Simone三维不等式柯西定理应用举例详解A11
的有关信息介绍如下：
本文介绍三维不等式柯西定理及其证明，并通过四个例子来详细说明该不等式的数学实际应用。
三维不等式柯西定理：
(p₁²+p₂²+p₃²)(q₁²+q₂²+q₃²)≥(p₁q₁+p₂q₂+p₃q₃)²。
定义函数f(x)为:f(x)=(p₁+q₁x)²+(p₂+q₂x)²,
将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得
f(x)=(q₁²+q₂²)x²+2(p₁q₁+p₂q₂)x+(p₁²+p₂²)
因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即
Δ=4(p₁q₁+p₂q₂)²−4(q₁²+q₂²)(p₁²+p₂²)≤0
所以: (q₁²+q₂²)(p₁²+p₂²)≥(p₁q₁+p₂q₂)².
令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即
p₁+q₁x=0⇒x=−p₁/q₁,
p₂+q₂x=0⇒x=−p₂/q₂;
则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：
p₁/q₁=p₂/q₂,证毕。
※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=92,x²+y²+z²=183,求ax+by+cz的最小值。
解：直接使用上述柯西三维不等式有：
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,
代入数值即可得：
92*183≥(ax+by+cz)²,即：
(ax+by+cz)²≤16836,
由于所有变量均为正数，则：
ax+by+cz≤2√4209，
所以ax+by+cz的最小值为：2√4209.
※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=164,求x+y+z的最小值。
解：使用柯西三维不等式有：
(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：
(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：
164*3≥(x+y+z)²,进一步有：
(x+y+z)²≤492，
所以正数x+y+z的最小值=2√123。
※.若a+b+c=127,求121a²+4b²+49c²的最小值。
解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。
121a²+4b²+49c²=(11a)²+(2b)²+(7c)²
进一步变形为：
[(11a)²+(2b)²+(7c)²][(1/11)²+(1/2)²+(1/7)²]，
≥[(11a/11)+(2b /2)+(7c/7)]²，
=(a+b+c)²=127²，即：
(121a²+4b²+49c²)*(6609/154²)≥127²，
所以：121a²+4b²+49c²≥(1/6609)*19558²。
※.若31x+26y+6z=441,求x²+y²+z²的最小值。
解：运用三维柯西不等式，有：
(x²+y²+z²)(31²+26²+6²)≥(31x+26y+6z)²,即：
(x²+y²+z²)(31²+26²+6²)≥441²,
(x²+y²+z²)*1673≥441²,
x²+y²+z²≥441²/(1673),
即：x²+y²+z²≥27783/239,
所以x²+y²+z²的最小值=27783/239。
