四边形对角互补怎么证明四点共圆

四边形对角互补怎么证明四点共圆

如何用圆幂定理证明对角互补

首先，我们作AB和AD的中垂线，它们交于点O。由于O是AB和AD的中点，所以OA=OB=OD，也就是说O是以A为圆心的圆上的点。

然后，我们连接OC，并且设OC=b。在△OBC中，由正弦定理可以得到：

fracab=fracsinangleBOCsinangleC

同理，在△ODC中也可以得到：

fracab=fracsinangleDOCsinangleD

由于∠A+∠C=180°，所以∠BOC+∠DOC=180°，根据和差化积公式可以得到：

cos(angleBOC+angleDOC)−cos(angleBOC−angleDOC)=0

由于0°<∠C<90°，0°<∠D<90°，所以只有当∠C=∠D时，上式才成立。这说明∠B=∠D（等腰三角形的底角相等），所以OC=OD。

综上所述，我们得到OA=OB=OC=OD，也就是说O是以A为圆心的圆上的四个点。因此，ABCD四点共圆。