2010年广东省高考数学试卷理科含详解

2010年广东省高考数学试卷理科含详解

2010年广东省高考数学试卷(理科)含详解

绝密★启用前试卷类型：A

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，则集合

A．B．C．D．

2．若复数，则

A．4B．2+iC．2+2iD．3

3．若函数与的定义域均为R，则

A．与均为偶函数B．为奇函数，为偶函数

C．与均为奇函数D．为偶函数．为奇函数

4．已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则

A．35B．33C．3lD．29

5．“”是“一元二次方程有实数解”的

A．充分非必要条件B．充分必要条件

C．必要非充分条件D．非充分非必要条件

6．如图1，为正三角形，

则多面体的正视图（也称主视图）是

7．已知随机变量服从正态分布，且，则

A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585

8．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是

A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒

2、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分

（1）必做题(9～13题)

9．函数，的定义域是．

10．若向量，满足条件，则．

11．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=．

12．若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是．

13．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中位居民的月均用水量分别为(单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若，且，分别为1，则输出的结果为．

（2）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）如图3，是半径为的圆的两条弦，

他们相交于AB的中点P，则＝_________．

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（）中，

曲线与的交点的极坐标为______________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分l4分）

已知函数在时取得最大值4。

（1）求的最小正周期；

（2）求的解析式；

（3）若，求。

17．（本小题满分12分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505

克的产品数量。

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，

设Y为重量超过505克的产品数量，

求Y的分布列。

（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2

件产品合格的重量超过505克的概率。

18．(本小题满分14分)

如图5，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足。

（1）证明：；

（2已知点为线段上的点，

求平面与平面所成二面角的正弦值。

19.（本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素。另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素。

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

20.（本小题满分14分）

已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点。

（1）求直线与交点的轨迹的方程；

（2若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且，求的值。

21.(本小题满分14分)

设，是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为

对于平面上给定的不同的两点，

（1）若点是平面上的点，试证明

（2）在平面上是否存在点，同时满足

若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1．D．【解析】．

2．A．【解析】

3．B．【解析】．

4．C．【解析】设{}的公比为，则由等比数列的性质知，即。

由与2的等差中项为知，．

∴，即．，.

5．A．【解析】由知，．

（或由得。），反之不成立，故选A。

6．D．

7．B．【解析】

8．C．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120—1）=595秒。那么需要的时间至少是600＋595=1195秒。

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

9．．【解析】由，得，所以函数的定义域为．

10．2．【解析】，解得．

11．．【解析】由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，

即．由知，则，

于是．

12．．【解析】设圆心为，则，解得．

13．．14．．【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，.

在中，.

由相交弦定理知，

即，所以．

15．．【解法1】两条曲线的普通方程分别为．解得

由得点的极坐标为．

【解法2】由得，

或，或（舍），从而，交点坐标为。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

．

17．（1）重量超过505克的产品数量是

件；

（2）Y的所有可能取值为0，1，2；

Y的分布列为

（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为

18．（1）证明：连结，因为是半径为的半圆，为直径，点为的中点，所以。

在中。

在中，为等腰三角形，且点是底边的中点，故。

在中，所以为，且。

因为，且，所以平面，

而平面。

因为，且，所以平面，

而平面。

（2）设平面与平面RQD的交线为.

由，知.

而平面，∴平面，

而平面平面=，∴.

由（1）知，平面，∴平面，

而平面，∴，

∴是平面与平面所成二面角的平面角．

在中，

．

在中，由知，

由余弦定理得，

由正弦定理得，即。

故平面与平面所成二面角的正弦值为。

y

19．解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则，且满足以下条件

即

作直线，平移直线至，

x

当经过C点时，可使达到最小值。

由即，

此时，

答:午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元。

20．（1）解：由为双曲线的左右顶点知，

两式相乘，

因为点在双曲线上，所以，即，故，

所以，即直线与交点的轨迹的方程为.

（2）解法1：设，则由知。将代入得

即，

由与E只有一个交点知，即。

同理，由与E只有一个交点知，消去得，即，

从而，又。

解法2：由题意知直线和都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为和，设其方程为，代入椭圆E的方程得，即

由得，即，

21．（1）证明：由绝对值不等式知，

当且仅当且时等号成立。

（2）解：由得

且（Ⅰ）

由得（Ⅱ）

因为，是不同的两点，则：

若且，不妨设，

由（Ⅰ）得且，由（Ⅱ）得，

此时，点是线段的中点，即只有点满足条件；

若且，同理可得：只有的中点满足条件；

若且，不妨设且，

由（Ⅰ）得且，

由（Ⅱ）得，

此时，所有符合条件的点的轨迹是一条线段，即：过的中点，斜率为的直线夹在矩形之间的部分，其中。